Apa persamaan garis tangen dari f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 pada x = 5?

Persamaan garis tangen adalah dalam bentuk:

# y = warna (oranye) (a) x + warna (ungu) (b) #

dimana #Sebuah# adalah kemiringan garis lurus ini.

Untuk menemukan kemiringan garis singgung ini ke #f (x) # pada titik # x = 5 # kita harus membedakan #f (x) #

#f (x) # adalah fungsi hasil bagi dari formulir # (u (x)) / (v (x)) #

dimana #u (x) = x-3 # dan #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (blue) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (red) (u '(x) = 1) #

#v (x) # adalah fungsi komposit jadi kami harus menerapkan aturan rantai

membiarkan #g (x) = x ^ 2 # dan #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (red) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # kemudian

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (red) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (red) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (blue) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

menyederhanakan faktor umum # x-4 # antara pembilang dan penyebut

#color (blue) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Karena garis singgung melewati titik # x = 5 # sehingga kita dapat menemukan nilai kemiringan #Sebuah# dengan mengganti # x = 5 # di # f '(x) #

#warna (oranye) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (orange) (a = -3) #

Diberikan absisnya titik singgung #color (brown) (x = 5) # mari

mari kita cari tahbisannya # y = f (5) #

#color (brown) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (brown) (y = 2) #

Memiliki koordinat titik singgung #color (brown) ((5; 2)) # dan lereng #color (orange) (a = -3) # mari kita temukan #color (violet) (b) #

mari gantikan semua nilai yang diketahui dalam persamaan garis tangen untuk menemukan nilai #color (violet) (b) #

#warna (coklat) (y) = warna (oranye) (a) warna (coklat) (x) + warna (ungu) (b) #

# 2 = -3 (5) + warna (violet) (b) #

# 2 = -15 + warna (violet (b) #

# 17 = warna (ungu) (b) #

Oleh karena itu, persamaan garis singgung pada titik #color (brown) ((5; 2)) # aku s:

# y = -3x + 17 #