Menjawab:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Penjelasan:
Agar masalah ini masuk akal # 4-9x ^ 2> = 0 #jadi # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Karena itu kita dapat memilih a # 0 <= u <= pi # seperti yang # x = 2 / 3cosu #. Dengan ini, kita bisa mengganti variabel x menggunakan integral # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # di sini kita gunakan itu # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # dan itu untuk # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Sekarang kami menggunakan integrasi berdasarkan bagian untuk menemukan # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Karena itu # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Jadi kami telah menemukan #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, sekarang kita gantikan # x # kembali untuk # u #, menggunakan # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #jadi #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Kami selanjutnya dapat menyederhanakan ini dengan menggunakan definisi sinus dan cosinus dalam hal segitiga. Untuk segitiga siku-siku dengan sudut # u # di salah satu sudut yang tidak benar, # sinu = "sisi berlawanan" / "sisi terpanjang" #, sementara # cosu = "sisi yang berbatasan" / "sisi terpanjang" #, karena kita tahu # cosu = (3x) / 2 #, kita dapat memilih sisi yang berdekatan # 3x # dan sisi terpanjang #2#. Menggunakan teorema Pythagoras, kita menemukan sisi sebaliknya #sqrt (4-9x ^ 2) #jadi #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Karena itu #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
