Apa teorema DeMoivre? + Contoh

Teorema DeMoivre berkembang berdasarkan formula Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Teorema DeMoivre mengatakan bahwa:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Contoh:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Namun, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Menyelesaikan bagian nyata dan imajiner dari # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Dibandingkan dengan #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Ini adalah rumus sudut ganda untuk # cos # dan #dosa#

Ini memungkinkan kami untuk berkembang #cos (nx) # atau #sin (nx) # dalam hal kekuatan # sinx # dan # cosx #

Teorema DeMoivre dapat diambil lebih lanjut:

Diberikan # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Jadi, jika Anda ingin berekspresi # sin ^ nx # dalam hal berbagai sudut # sinx # dan # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Perluas dan sederhananya, kemudian masukkan nilai untuk # z ^ n + z ^ (- n) # dan # z ^ n-z ^ (- n) # jika perlu.

Namun, jika itu terlibat # cos ^ nx #, maka Anda akan melakukannya # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # dan ikuti langkah-langkah serupa.