Bukti bahwa N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) adalah bilangan bulat?

Bukti bahwa N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) adalah bilangan bulat?
Anonim

Menjawab:

Mempertimbangkan t ^ 3-21t-90 = 0

Ini memiliki satu root Real yaitu 6 a.k.a. (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3)

Penjelasan:

Pertimbangkan persamaannya:

t ^ 3-21t-90 = 0

Menggunakan metode Cardano untuk menyelesaikannya, biarkan t = u + v

Kemudian:

u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0

Untuk menghilangkan istilah dalam (u + v) , tambahkan kendala uv = 7

Kemudian:

u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0

Lipatgandakan dengan u ^ 3 dan mengatur ulang untuk mendapatkan kuadratik u ^ 3 :

(u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0

oleh rumus kuadrat, ini memiliki akar:

u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2

color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372)

color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728)

color (white) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2)

Karena ini Nyata dan derivasi simetris dalam u dan v , kita dapat menggunakan salah satu dari akar ini untuk u ^ 3 dan yang lainnya untuk v ^ 3 untuk menyimpulkan bahwa nol Nyata dari t ^ 3-21t-90 aku s:

t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2))

tetapi kami menemukan:

(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0

Jadi nol nyata t ^ 3-21t-90 aku s 6

Begitu 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2))

warna putih)()

Catatan kaki

Untuk menemukan persamaan kubik, saya menggunakan metode Cardano mundur.

Menjawab:

N = 6

Penjelasan:

Membuat x = 45 + 29 sqrt (2) dan y = 45-29 sqrt (2) kemudian

(x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y

(x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7

x + y = 2 xx 45

begitu

(x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3))

atau menelepon z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) kita punya

z ^ 3-21 z-90 = 0

dengan 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 dan z = 6 adalah root begitu

x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6