Bukti bahwa N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) adalah bilangan bulat?

Menjawab:

Mempertimbangkan $t^{3} - 21 t - 90 = 0$ $t ^ 3-21t-90 = 0$

Ini memiliki satu root Real yaitu $6$ $6$ a.k.a. ${(45 + 29 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} + {(45 - 29 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ $(45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3)$

Penjelasan:

Pertimbangkan persamaannya:

$t^{3} - 21 t - 90 = 0$ $t ^ 3-21t-90 = 0$

Menggunakan metode Cardano untuk menyelesaikannya, biarkan $t = u + v$ $t = u + v$

Kemudian:

$u^{3} + v^{3} + 3 (u v - 7) (u + v) - 90 = 0$ $u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0$

Untuk menghilangkan istilah dalam $(u + v)$ $(u + v)$ , tambahkan kendala $u v = 7$ $uv = 7$

Kemudian:

$u^{3} + \frac{7^{3}}{u^{3}} - 90 = 0$ $u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0$

Lipatgandakan dengan $u^{3}$ $u ^ 3$ dan mengatur ulang untuk mendapatkan kuadratik $u^{3}$ $u ^ 3$ :

${(u^{3})}^{2} - 90 (u^{3}) + 343 = 0$ $(u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0$

oleh rumus kuadrat, ini memiliki akar:

$u^{3} = \frac{90 + - \sqrt{90^{2} - (4 \cdot 343)}}{2}$ $u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2$

$u^{3} = 45 + - \frac{1}{2} \sqrt{8100 - 1372}$ $color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372)$

$u^{3} = 45 + - \frac{1}{2} \sqrt{6728}$ $color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728)$

$u^{3} = 45 + - 29 \sqrt{2}$ $color (white) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2)$

Karena ini Nyata dan derivasi simetris dalam $u$ $u$ dan $v$ $v$ , kita dapat menggunakan salah satu dari akar ini untuk $u^{3}$ $u ^ 3$ dan yang lainnya untuk $v^{3}$ $v ^ 3$ untuk menyimpulkan bahwa nol Nyata dari $t^{3} - 21 t - 90$ $t ^ 3-21t-90$ aku s:

$t_{1} = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ $t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2))$

tetapi kami menemukan:

${(6)}^{3} - 21 (6) - 90 = 216 - 126 - 90 = 0$ $(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0$

Jadi nol nyata $t^{3} - 21 t - 90$ $t ^ 3-21t-90$ aku s $6$ $6$

Begitu $6 = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ $6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2))$

$w a r n a p u t i h) ()$ $warna putih)()$

Catatan kaki

Untuk menemukan persamaan kubik, saya menggunakan metode Cardano mundur.

Menjawab:

$N = 6$ $N = 6$

Penjelasan:

Membuat $x = 45 + 29 \sqrt{2}$ $x = 45 + 29 sqrt (2)$ dan $y = 45 - 29 \sqrt{2}$ $y = 45-29 sqrt (2)$ kemudian

${(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}^{3} = x + 3 {(x y)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 3 {(x y)}^{\frac{1}{3}}) y^{\frac{1}{3}} + y$ $(x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y$

${(x y)}^{\frac{1}{3}} = {(7^{3})}^{\frac{1}{3}} = 7$ $(x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7$

$x + y = 2 \times 45$ $x + y = 2 xx 45$

begitu

${(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}^{3} = 90 + 21 (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$ $(x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3))$

atau menelepon $z = x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$ $z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3)$ kita punya

$z^{3} - 21 z - 90 = 0$ $z ^ 3-21 z-90 = 0$

dengan $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ $90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5$ dan $z = 6$ $z = 6$ adalah root begitu

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = 6$ $x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6$

Satu bilangan bulat adalah 15 lebih dari 3/4 bilangan bulat lainnya. Jumlah bilangan bulat lebih besar dari 49. Bagaimana Anda menemukan nilai terkecil untuk dua bilangan bulat ini?

2 bilangan bulat adalah 20 dan 30. Misalkan x bilangan bulat Maka 3 / 4x + 15 adalah bilangan bulat kedua Karena jumlah bilangan bulat lebih besar dari 49, x + 3 / 4x + 15> 49 x + 3 / 4x> 49 -15 7 / 4x> 34 x> 34tim4 / 7 x> 19 3/7 Oleh karena itu, bilangan bulat terkecil adalah 20 dan bilangan bulat kedua adalah 20 kali3 / 4 + 15 = 15 + 15 = 30.

Satu bilangan bulat adalah sembilan lebih dari dua kali bilangan bulat lainnya. Jika produk dari bilangan bulat adalah 18, bagaimana Anda menemukan dua bilangan bulat itu?

Solusi bilangan bulat: warna (biru) (- 3, -6) Biarkan bilangan bulat diwakili oleh a dan b. Kita diberitahu: [1] warna (putih) ("XXX") a = 2b + 9 (Satu bilangan bulat sembilan lebih dari dua kali bilangan bulat lainnya) dan [2] warna (putih) ("XXX") a xx b = 18 (Produk dari bilangan bulat adalah 18) Berdasarkan [1], kami tahu kami dapat mengganti (2b + 9) dengan a di [2]; memberi [3] warna (putih) ("XXX") (2b + 9) xx b = 18 Menyederhanakan dengan target penulisan ini sebagai bentuk kuadrat standar: [5] warna (putih) ("XXX") 2b ^ 2 + 9b = 18 [6] warna (putih) ("XXX") 2b ^ 2

Berapakah bilangan bulat tengah dari 3 bilangan bulat positif berurutan jika produk dari dua bilangan bulat yang lebih kecil adalah 2 kurang dari 5 kali bilangan bulat terbesar?

8 '3 bilangan bulat genap positif berurutan' dapat ditulis sebagai x; x + 2; x + 4 Produk dari dua bilangan bulat yang lebih kecil adalah x * (x + 2) '5 kali bilangan bulat terbesar' adalah 5 * (x +4):. x * (x + 2) = 5 * (x + 4) - 2 x ^ 2 + 2x = 5x + 20 - 2 x ^ 2 -3x-18 = 0 (x-6) (x + 3) = 0 Kami dapat mengecualikan hasil negatif karena bilangan bulat dinyatakan positif, jadi x = 6 Bilangan bulat tengah karena itu 8