Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga sama sisi adalah 2. Berapakah keliling segitiga itu?

Menjawab:

Perimeter sama dengan # 12sqrt (3) #

Penjelasan:

Ada banyak cara untuk mengatasi masalah ini.

Ini salah satunya.

Pusat lingkaran yang ditulisi segitiga terletak di persimpangan garis-garis sudutnya. Untuk segitiga sama sisi ini adalah titik yang sama di mana ketinggian dan mediannya bersilangan juga.

Setiap median dibagi dengan titik persimpangan dengan median lain secara proporsional #1:2#. Oleh karena itu, garis tengah, ketinggian dan sudut bagi segitiga sama sisi sama dengan

#2+2+2 = 6#

Sekarang kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menemukan sisi dari segitiga ini jika kita tahu ketinggian / median / garis bagi sudut.

Jika ada sisi # x #, dari teorema Pythagoras

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Dari ini:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Perimeter sama dengan tiga sisi:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Menjawab:

Perimeter sama dengan # 12sqrt (3) #

Penjelasan:

Metode alternatif di bawah ini.

Asumsikan, segitiga sama sisi kita adalah #Delta ABC # dan itu pusat lingkaran bertuliskan adalah #HAI#.

Gambarkan garis tengah / altitude.angle dari sudut #SEBUAH# melalui titik #HAI# sampai memotong sisi # BC # pada titik # M #. Jelas, # OM = 2 #.

Pertimbangkan segitiga #Delta OBM #.

Nya kanan sejak #OM_ | _BM #.

Sudut # / _ OBM = 30 ^ o # sejak # BO # adalah garis bagi sudut # / _ ABC #.

Sisi # BM # setengah dari sisi # BC # sejak #SAYA# adalah median.

Sekarang kita dapat menemukannya # OB # sebagai sisi miring dalam segitiga siku-siku dengan satu sudut akut sama dengan # 30 ^ o # dan cathetus berlawanan dengan itu sama dengan #2#. Hypotenuse ini dua kali lebih panjang dari cathetus ini #4#.

Memiliki sisi miring # OB # dan cathetus # OM #, temukan cathetus lain # BM # oleh Teorema Pythagoras:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Karena itu,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perimeter adalah

# 3 * BC = 12sqrt (3) #