Apakah akar kuadrat dari 543?

Menjawab:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Penjelasan:

Factorisation utama dari #543# aku s:

#543 = 3 * 181#

Karena tidak memiliki faktor kuadrat lebih besar dari #1#, akar kuadrat dari #543# tidak bisa disederhanakan.

Ini adalah bilangan irasional di antara # 23 = sqrt (529) # dan # 24 = sqrt 576 #.

Interpolasi linear, kita dapat memperkirakan:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23,3 #

Untuk akurasi lebih lanjut, mari # p_0 / q_0 = 233/10 # dan beralih menggunakan rumus:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Begitu:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} #

Hanya iterasi yang satu ini sudah cukup untuk didapatkan #7# (hampir #8#) digit signifikan:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Jika kita ingin lebih akurat, ulangi saja.

Catatan kaki

Fraksi berulang terus yang tepat untuk #sqrt (543) # aku s:

# 543 = 23; bilah (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

dari mana dimungkinkan untuk menemukan solusi dari persamaan Pell:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

yang membuat #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # pendekatan yang sangat efisien.