Apa bilangan bulat terkecil n sehingga n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Menjawab:

# n = 8075 #

Penjelasan:

Membiarkan #v_p (k) # menjadi banyaknya # p # sebagai faktor # k #. Itu adalah, #v_p (k) # adalah bilangan bulat terbesar sehingga # p ^ (v_p (k)) | k #.

Pengamatan:

• Untuk apapun #k di ZZ ^ + # dan # p # prima, kita punya #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan induksi)

• Untuk bilangan bulat apa pun #k> 1 #, kita punya # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Ini intuitif, sebagai kelipatan dari kekuatan #2# terjadi lebih sering daripada kelipatan kekuatan setara #5#, dan dapat dibuktikan dengan ketat menggunakan argumen yang sama)

• Untuk #j, k dalam ZZ ^ + #, kita punya #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # untuk setiap pembagi utama # p # dari # j #.

Melanjutkan, tujuan kami adalah menemukan bilangan bulat terkecil # n # seperti yang # 10 ^ 2016 | n! #. Sebagai # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, maka dengan pengamatan ketiga, kita hanya perlu mengkonfirmasi itu # 2016 <= v_2 (n!) # dan # 2016 <= v_5 (n!) #. Pengamatan kedua berarti bahwa yang terakhir menyiratkan yang pertama. Dengan demikian, cukup untuk menemukan bilangan bulat terkecil # n # seperti yang # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Mencari # n # kami akan melakukan pengamatan yang memungkinkan kami menghitung # v_5 (5 ^ k!) #.

Antara #1# dan # 5 ^ k #, ada # 5 ^ k / 5 # kelipatan #5#, masing-masing berkontribusi setidaknya #1# ke jumlah #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Ada juga # 5 ^ k / 25 # kelipatan #25#, masing-masing berkontribusi tambahan #1# ke jumlah setelah penghitungan awal. Kita dapat melanjutkan dengan cara ini hingga mencapai satu kelipatan # 5 ^ k # (yang mana # 5 ^ k # sendiri), yang telah berkontribusi # k # kali ke penjumlahan. Menghitung jumlah dengan cara ini, kita miliki

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Jadi, kita temukan itu # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Akhirnya, kita akan temukan # n # seperti yang # v_5 (n!) = 2016 #. Jika kita hitung # v_5 (5 ^ k!) # untuk beberapa nilai # k #, kami menemukan

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Sebagai #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # membutuhkan dua "blok" dari #5^5#, dua dari #5^4#, empat dari #5^3#, dan tiga #5^2#. Jadi, kita dapatkan

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Komputer dapat dengan cepat memverifikasi itu #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Demikian #10^2016 | 8075!#, dan sebagai #5|8075!# dengan banyaknya #2016# dan #5|8075#, jelas bahwa nilai yang tidak kurang akan cukup.