Menemukan (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) menggunakan Rumus Penambahan?

Menjawab:

Itu benar kecuali (ii) terbalik. #tan (A + B) # seharusnya #4/3# sebagai #sin (A + B) = 4/5 # dan #cos (A + B) = 3/5 #.

Penjelasan:

Menyenangkan. Diberikan #cos (A + B) = 3/5 quad dan quad cos A cos B = 7/10 #

Mari kita tinjau identitas yang relevan.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # pilihan (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#SEBUAH# dan # B # akut, # A + B <180 ^ circ # jadi sinus positif:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # BUKAN DARI SALAH SATU DI ATAS

Satu rumus sudut ganda adalah #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # begitu

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

Rata-rata #SEBUAH# dan # B # akut, jadi kami memilih tanda positif.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # pilihan (iii)

Salah satu dari tiga yang salah, B-.

Menjawab:

Silakan merujuk ke Bagian Penjelasan.

Penjelasan:

Mengingat bahwa #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Karenanya, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) #.

Mengingat bahwa, # 0 lt A pi pi / 2, 0 lt pi pi / 2 #.

Menambahkan, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) di Q_1uuQ_2 #.

Tapi, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) di Q_1 #.

Sekarang, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "tetapi, karena," (A + B) di Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii) #.

Akhirnya, untuk menemukan #sin ((A + B) / 2), "let," (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Sekarang," cos2theta = 3/5 rr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … karena, "Formula Tambahan" #

#:. cos ^ 2 theta-sin ^ 2theta = 3/5, mis., #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, atau, #

# 1-2s ^ ^ theta = 3/5 rrr sin ^ 2 theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Sejak, # (A + B) = 2theta # terletak di # Q_1, "begitu juga" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.