Fungsi kecepatan adalah v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 untuk partikel yang bergerak di sepanjang garis. Berapakah perpindahan (jarak bersih yang tertutup) dari partikel selama interval waktu [-3,6]?

Menjawab:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

Penjelasan:

Area di bawah kurva kecepatan setara dengan jarak yang ditempuh.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (putih) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (biru) ((- 3)) ^ warna (merah) (6) #

# = (warna (merah) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (warna (biru) (- 1/3 (-3) ^ 3) +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Menjawab:

Pertanyaan aslinya agak membingungkan karena menyiratkan bahwa perpindahan dan jarak adalah hal yang sama, padahal tidak.

Saya telah menyiapkan integrasi yang diperlukan untuk setiap kasus yang berbeda di bawah ini.

Penjelasan:

Total jarak (kuantitas skalar yang mewakili panjang jalur aktual) diberikan oleh jumlah integral parsial

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Total pemindahan (Kuantitas vektor mewakili garis lurus yang digambar dari awal hingga akhir gerakan) diberikan dalam besaran oleh integral berikut

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Grafik fungsi kecepatan dengan waktu menjelaskan mengapa integral-integral ini perlu diatur agar aturan vektor dipatuhi dan definisi yang harus dipenuhi.

grafik {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}