Jika Anda menggulung satu dadu, berapakah jumlah gulungan yang diharapkan untuk menggulung setiap angka satu kali?

Menjawab:

# 14.7 "gulungan" #

Penjelasan:

#P "semua angka yang dilemparkan" = 1 - P "1,2,3,4,5, atau 6 yang tidak dilemparkan" #

#P "A atau B atau C atau D atau E atau F" = P A + P B + … + P F - #

#P A dan B - P A dan C …. + P A dan B dan C + … #

# "Ini dia" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negatifnya adalah probabilitas kita." #

#sum n * a ^ (n-1) = jumlah (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) jumlah a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = jumlah n * P "semua angka yang dilemparkan setelah n lemparan" #

# = jumlah n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Kita harus mengurangi satu karena kondisi awal P_1 (0)" #

# "memberikan nilai yang salah P = 1 untuk n = 1." #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

Menjawab:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Penjelasan:

Anggap saja seperti enam mini-game. Untuk setiap gim, kami menggulung dadu hingga kami menggulirkan angka yang belum digulung - yang kami sebut "menang". Lalu kita mulai game berikutnya.

Membiarkan # X # menjadi jumlah gulungan yang diperlukan untuk memutar setiap angka setidaknya satu kali (yaitu menangkan semua 6 mini-game), dan biarkan # X_i # menjadi jumlah gulungan yang dibutuhkan untuk "memenangkan" nomor mini-game #saya# (untuk #saya# dari 1 hingga 6). Lalu masing-masing # X_i # adalah variabel acak Geometrik dengan distribusi # "Geo" (p_i) #.

Nilai yang diharapkan dari setiap variabel acak Geometrik adalah # 1 / p_i #.

Untuk game pertama, # p_1 = 6/6 # karena semua 6 hasil adalah "baru". Demikian, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Untuk game kedua, 5 dari 6 hasil baru, jadi # p_2 = 5/6 #. Demikian, # "E" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

Untuk game ketiga, 4 dari 6 gulungan yang mungkin adalah baru, jadi # p_3 = 4/6 #, berarti # "E" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

Pada titik ini, kita dapat melihat polanya. Karena jumlah gulungan "menang" berkurang sebesar 1 untuk setiap game baru, probabilitas "menang" dari setiap game turun dari #6/6# untuk #5/6#, kemudian #4/6#, dll., artinya jumlah roll yang diharapkan per game berasal #6/6# untuk #6/5#untuk #6/4#, dan seterusnya, hingga game terakhir, di mana kami berharap untuk mengambil 6 gulungan untuk mendapatkan angka terakhir.

Demikian:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#warna (putih) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (white) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (white) ("E" (X)) = 14,7 #