Tunjukkan bahwa 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... hingga infinity = 3 ^ (3/4). Bagaimana?

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

dengan

#S = jumlah_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Kami tahu itu #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) jumlah_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

dan juga itu untuk #ab x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # dan # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # kemudian

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # dan untuk #x = 1/3 # kita punya

#S = 3/4 # lalu akhirnya

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Andrew mengklaim bahwa bookend kayu berbentuk segitiga siku-siku 45 ° - 45 ° - 90 ° memiliki panjang sisi 5 in., 5 in., Dan 8 in. Apakah dia benar? Jika demikian, tunjukkan pekerjaannya dan jika tidak, tunjukkan mengapa tidak.

Andrew salah. Jika kita berurusan dengan segitiga siku-siku, maka kita dapat menerapkan teorema pythagoras, yang menyatakan bahwa a ^ 2 + b ^ 2 = h ^ 2 di mana h adalah sisi miring segitiga, dan a dan b dua sisi lainnya. Andrew mengklaim bahwa a = b = 5in. dan h = 8 dalam. 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 25 + 25 = 50 8 ^ 2 = 64! = 50 Oleh karena itu, ukuran segitiga yang diberikan oleh Andrew salah.

Biarkan topi (ABC) menjadi sembarang segitiga, peregangan batang (AC) hingga D sedemikian rupa sehingga batang (CD) bar (CB); regangkan juga batang (CB) ke dalam E sehingga batang (CE) bar (CA). Bar segmen (DE) dan bar (AB) bertemu di F. Tunjukkan bahwa topi (DFB sama kaki?

Sebagai berikut Ref: Diberikan Gambar "Dalam" DeltaCBD, bar (CD) ~ = bar (CB) => / _ CBD = / _ CDB "Lagi dalam" DeltaABC dan DeltaDEC bar (CE) ~ = bar (AC) -> "oleh konstruksi "bar (CD) ~ = bar (CB) ->" dengan konstruksi "" Dan "/ _DCE =" berlawanan secara vertikal "/ _BCA" Karenanya "DeltaABC ~ = DeltaDCE => / _ EDC = / _ ABC" Sekarang dalam "DeltaBDF, / _FBD = / _ ABC + / _ CBD = / _ EDC + / _ CDB = / _ EDB = / _ FDB "Jadi" bar (FB) ~ = bar (FD) => DeltaFBD "isosceles"

Z adalah bilangan kompleks. Tunjukkan bahwa persamaan z ^ 4 + z + 2 = 0 tidak dapat memiliki akar z sedemikian hingga z <1?

Z ^ 4 + z + 2 = 0 z ^ 4 + z = -2 abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1 ) Jika absz <1, maka absz ^ 3 <1, Dan abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 Akhirnya Jika absz <1, maka abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 sehingga kita tidak dapat memiliki z ^ 4 + z = -2 abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 seperti yang diperlukan untuk sebuah solusi. (Mungkin ada bukti yang lebih elegan, tetapi ini berhasil.)