Berapa batas ketika t mendekati 0 dari (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Kami menentukan ini dengan menggunakan Aturan L'hospital.

Mengutip, aturan L'Hospital menyatakan bahwa ketika diberikan batas formulir #lim_ (t a) f (t) / g (t) #dimana #f (a) # dan #g (a) # adalah nilai-nilai yang menyebabkan batas menjadi tak tentu (paling sering, jika keduanya adalah 0, atau beberapa bentuk), maka selama kedua fungsi tersebut kontinu dan dapat dibedakan pada dan di sekitar #Sebuah,# orang mungkin menyatakan itu

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Atau dengan kata lain, batas hasil bagi dari dua fungsi sama dengan batas hasil bagi turunannya.

Dalam contoh yang diberikan, kami punya #f (t) = tan (6t) # dan #g (t) = sin (2t) #. Fungsi-fungsi ini kontinu dan terdiferensiasi dekat # t = 0, tan (0) = 0 dan sin (0) = 0 #. Jadi, inisial kami #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Karena itu, kita harus menggunakan Peraturan L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 dtk ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Demikian…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 detik ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 detik ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Menjawab:

Reqd. Lim.#=3#.

Penjelasan:

Kami akan menemukan ini Membatasi menggunakan yang berikut ini Hasil standar:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Perhatikan itu, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Sini, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Demikian pula, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Oleh karena itu, Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.