Bagaimana Anda menemukan fungsi polinomial dengan akar 1, 7, dan -3 dari multiplisitas 2?

Menjawab:

#f (x) = 2 (x-1) (x-7) (x + 3) = 2x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21 #

Penjelasan:

Jika akar adalah 1,7, -3 maka dalam bentuk faktor fungsi polinomial adalah:

#f (x) = A (x-1) (x-7) (x + 3) #

Ulangi akar untuk mendapatkan multiplisitas yang dibutuhkan:

#f (x) = (x-1) (x-7) (x + 3) (x-1) (x-7) (x + 3) #

Menjawab:

Polinomial paling sederhana dengan akar #1#, #7# dan #-3#, masing-masing dengan banyak #2# aku s:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

Penjelasan:

Setiap polinomial dengan akar ini dengan setidaknya multiplisitas ini akan menjadi kelipatan #f (x) #, dimana …

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… setidaknya saya pikir saya telah mengalikan ini dengan benar.

Mari kita periksa #f (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

Polinomial derajat 4, P (x) memiliki akar multiplisitas 2 pada x = 3 dan akar multiplisitas 1 pada x = 0 dan x = -3. Melewati titik (5.112). Bagaimana Anda menemukan formula untuk P (x)?

Polinomial derajat 4 akan memiliki bentuk root: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Pengganti dalam nilai untuk root dan kemudian gunakan titik untuk menemukan nilai dari k. Mengganti nilai untuk root: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Gunakan titik (5.112) untuk menemukan nilai k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Akar dari polinomial adalah: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Polinomial derajat 5, P (x) memiliki koefisien terkemuka 1, memiliki akar multiplisitas 2 pada x = 1 dan x = 0, dan akar multiplisitas 1 pada x = -3, bagaimana Anda menemukan formula yang mungkin untuk P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Setiap root sesuai dengan faktor linier, sehingga kita dapat menulis: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Setiap polinomial dengan nol ini dan setidaknya multiplisitas ini akan menjadi kelipatan (skalar atau polinomial) dari P (x) Catatan Kaki ini Secara tegas, nilai x yang menghasilkan P (x) = 0 disebut sebagai akar P (x) = 0 atau nol dari P (x). Jadi pertanyaannya seharusnya benar-benar berbicara tentang nol P (x) atau tentang akar P (x) = 0.

Polinomial derajat 5, P (x) memiliki koefisien terkemuka 1, memiliki akar multiplisitas 2 pada x = 1 dan x = 0, dan akar multiplisitas 1 pada x = -1 Temukan rumus yang mungkin untuk P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Mengingat bahwa kita memiliki akar multiplisitas 2 pada x = 1, kita tahu bahwa P (x) memiliki faktor (x-1) ^ 2 Mengingat bahwa kita memiliki akar kelipatan 2 pada x = 0, kita tahu bahwa P (x) memiliki faktor x ^ 2 Mengingat bahwa kita memiliki akar kelipatan 1 pada x = -1, kita tahu bahwa P (x) memiliki faktor x + 1 Kita diberikan bahwa P (x) adalah polinomial derajat 5, dan oleh karena itu kami telah mengidentifikasi semua lima akar, dan faktor, sehingga kami dapat menulis P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Karena itu kita dapat menulis P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Kita juga t