Menjawab:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Penjelasan:
Membiarkan #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Mari kita asumsikan bahwa kita berurusan dengan nilai-nilai nyata dan oleh karena itu logaritma natural nyata.
Kemudian kita dibatasi #x> 0 # agar #ln (5x) # didefinisikan.
Untuk apapun #x> 0 # kedua istilah tersebut didefinisikan dengan baik dan seterusnya #f (x) # adalah fungsi yang didefinisikan dengan baik dengan domain # (0, oo) #.
Catat itu # 3ln (5) # dan # x ^ 3 # keduanya benar-benar meningkat monoton pada domain ini sehingga fungsi kami juga dan satu-ke-satu.
Untuk nilai positif kecil # x #, syarat # x ^ 3 # kecil dan positif dan istilahnya # 3ln (5x) # sewenang-wenang besar dan negatif.
Untuk nilai positif besar # x #, syarat # 3ln (5x) # positif dan istilahnya # x ^ 3 # sewenang-wenang besar dan positif.
Karena fungsi ini juga kontinu, kisarannya adalah # (- oo, oo) #
Jadi untuk nilai apa pun #y in (-oo, oo) # ada nilai unik #x in (0, oo) # seperti yang #f (x) = y #.
Ini mendefinisikan fungsi terbalik kami:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Itu adalah #f ^ (- 1) (y) # adalah nilai # x # seperti yang #f (x) = y #.
Kami telah menunjukkan (secara informal) bahwa ini ada, tetapi tidak ada solusi aljabar untuk # x # istilah dari # y #.
Grafik dari #f ^ (- 1) (y) # adalah grafik dari #f (x) # tercermin dalam garis # y = x #.
Dalam notasi yang disetel:
#f = {(x, y) in (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) dalam RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
