Bagaimana Anda menemukan dosa (x / 2), cos (x / 2), dan tan (x / 2) dari Cot yang diberikan (x) = 13?

Menjawab:

Sebenarnya ada empat nilai untuk # x / 2 # pada lingkaran unit, jadi empat nilai untuk setiap fungsi trigonometri. Nilai utama dari setengah sudut adalah sekitar # 2.2 ^ sekitar. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Silakan lihat penjelasan untuk yang lain.

Penjelasan:

Mari kita bicarakan jawabannya sedikit dulu. Ada dua sudut pada satuan lingkaran yang kotanya adalah #13#. Satu ada di sekitar # 4.4 ^ circ #, dan satu lagi plus itu # 180 ^ circ #, panggil saja # 184.4 ^ circ #. Masing-masing memiliki dua sudut setengah, sekali lagi dipisahkan oleh # 180 ^ circ. # Yang pertama memiliki setengah sudut # 2.2 ^ circ # dan # 182.2 ^ circ #, yang kedua memiliki setengah sudut # 92.2 ^ circ # dan # 272.2 ^ circ #, Jadi sebenarnya ada empat setengah sudut yang dipertanyakan, dengan nilai yang berbeda tetapi terkait untuk fungsi trigonometri mereka.

Kami akan menggunakan sudut di atas sebagai perkiraan sehingga kami memiliki nama untuk itu.

Sudut dengan cotangent 13:

#text {Arc} text {cot} 13 sekitar 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 sekitar 184.4 ^ circ #

Setengah sudut:

# 1/2 teks {Arc} text {cot} 13 sekitar 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) sekitar 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) sekitar 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) sekitar 272.2 ^ circ #

OK, rumus sudut ganda untuk cosinus adalah:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

jadi rumus setengah sudut yang relevan adalah

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Itu semua awal. Ayo lakukan masalahnya.

Kami akan melakukan sudut kecil pertama, # 2.2 ^ sekitar. # Kami melihat sisanya hanya kelipatan # 90 ^ circ # di atas itu, jadi kita bisa mendapatkan fungsi trigonometri dari sudut pertama ini.

Sebuah cotangent dari 13 adalah kemiringan #1/13# jadi sesuai dengan segitiga siku-siku dengan sebaliknya #1#berdekatan #13# dan sisi miring #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (teks {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (teks {Arc} teks {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Sekarang kita menerapkan rumus setengah sudut. Untuk sudut kami yang mungil di kuadran pertama, kami memilih tanda-tanda positif.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Kita bisa mencoba menyederhanakan dan memindahkan fraksi di luar radikal, tetapi saya hanya akan meninggalkannya di sini.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Setengah sudut singgung adalah hasil bagi dari mereka, tetapi lebih mudah digunakan

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1/2 teks {Arc} teks {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, itu semua bagian yang sulit, tapi jangan lupakan sudut lainnya.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Sekarang kita memiliki sudut yang tersisa, yang menukar sinus dan kosinus, membalik tanda. Kami tidak akan mengulangi formulir kecuali singgung.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Fiuh.

Menjawab:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Penjelasan:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

# mask x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Tapi kita tahu # mask (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Kapan #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Kapan #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #