Apa rumus untuk menemukan area dodecagon biasa?

Menjawab:

#S _ ("dodecagon reguler") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

Penjelasan:

Memikirkan dodecagon reguler yang tertulis dalam sebuah lingkaran, kita dapat melihat bahwa itu dibentuk oleh 12 segitiga sama kaki yang sisi-sisinya adalah jari-jari lingkaran, jari-jari lingkaran, dan sisi dodecagon; di masing-masing segitiga ini sudut yang berlawanan dengan sisi dodecagon sama dengan #360^@/12=30^@#; area masing-masing segitiga ini adalah # ("sisi" * "tinggi) / 2 #, kita hanya perlu menentukan ketinggian tegak lurus ke sisi dodecagon untuk menyelesaikan masalah.

Dalam segitiga sama kaki yang disebutkan, yang alasnya adalah sisi dodecagon dan sisi yang sama adalah jari-jari lingkaran, yang sudutnya berlawanan dengan alas (#alfa#) adalah sama dengan #30^@#, hanya ada garis yang diambil dari titik di mana jari-jari lingkaran bertemu (titik C) yang memotong secara tegak lurus sisi dodecagon: garis ini membagi dua sudut #alfa# serta mendefinisikan tinggi segitiga antara titik C dan titik di mana pangkalan disadap (titik M), serta membagi alas menjadi dua bagian yang sama (semua karena dua segitiga kecil yang terbentuk adalah kongruen).

Karena dua segitiga kecil yang disebutkan adalah yang benar, kita dapat menentukan ketinggian segitiga sama kaki dengan cara ini:

#tan (alpha / 2) = "menentang cathetus" / "cathetus yang berdekatan" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("sisi" / 2) / "tinggi" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Lalu kita punya

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (segitiga) = 12 * (("sisi") ("tinggi")) / 2 = 6 * ("sisi") ("sisi") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("side") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #