Berapa probabilitas menang dalam pertandingan yang diulang tak terhingga berikut ini?

Menjawab:

# "Jawab D)" #

Penjelasan:

# "Itu satu-satunya jawaban logis, yang lain tidak mungkin." #

# "Ini adalah masalah kehancuran penjudi."

# "Seorang penjudi dimulai dengan k dolar." #

# "Dia bermain sampai dia mencapai G dolar atau jatuh ke 0."

#p = "kesempatan dia memenangkan 1 dolar dalam satu pertandingan." #

#q = 1 - p = "kemungkinan dia kehilangan 1 dolar dalam satu pertandingan." #

# "Panggil" r_k "probabilitas (peluang) bahwa dia akan hancur." #

# "Kalau begitu kita punya" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "dengan" 1 <= k <= G-1 #

# "Kita dapat menulis ulang persamaan ini karena p + q = 1 sebagai berikut:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Sekarang di sini kita memiliki kasing" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Untuk" r_k "kita punya" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Jadi pemain A mulai di sini dengan k = satu dolar dan bermain sampai" #

# "dia akan hancur atau memiliki + b dolar." #

# => k = a, "dan" G = a + b #

# "Jadi kemungkinan dia hancur adalah" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Kemungkinan dia menang adalah" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Jawab D)" #