Segitiga memiliki sudut di (4, 1), (2, 4), dan (0, 2) #. Apa titik akhir dari garis-garis tegak lurus segitiga?

Menjawab:

Titik akhir yang mudah adalah titik tengah, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# dan yang lebih sulit adalah di mana garis batas bertemu pihak lain, termasuk #(8/3,4/3).#

Penjelasan:

Dengan garis-garis tegak lurus segitiga kita mungkin mengartikan garis-garis tegak lurus masing-masing sisi segitiga. Jadi ada tiga garis-garis tegak lurus untuk setiap segitiga.

Setiap garis-berat tegak lurus didefinisikan untuk memotong satu sisi pada titik tengahnya. Ini juga akan memotong salah satu sisi lainnya. Kami akan menganggap kedua pertemuan itu adalah titik akhir.

Titik tengahnya adalah

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Ini mungkin tempat yang baik untuk belajar tentang representasi parametrik untuk garis dan segmen garis. # t # adalah parameter yang dapat berkisar di atas real (untuk satu baris) atau dari #0# untuk #1# untuk segmen garis.

Mari beri label poin #A (4,1) #, #B (2,4) # dan #C (0,2) #. Tiga sisi adalah:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Sebagai # t # pergi dari nol ke satu kita menelusuri setiap sisi.

Mari kita selesaikan. # D # adalah titik tengah # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Vektor arah dari C ke B adalah # B-C = (2,2) #. Untuk tegak lurus, kami membalikkan kedua koefisien (tidak ada efek di sini karena keduanya #2#) dan meniadakan satu. Jadi persamaan parametrik untuk tegak lurus

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Garis berbeda, parameter berbeda.) Kita dapat melihat di mana ini memenuhi masing-masing sisi.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # memverifikasi bahwa garis-berat tegak lurus bertemu BC di titik tengahnya.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Mengurangi, # t = 2-3 = - 1 #

Itu di luar jangkauan sehingga garis-garis tegak lurus BC tidak mengenai sisi AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Mengurangi, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Itu memberi titik akhir lainnya sebagai

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Ini semakin lama, jadi saya akan menyerahkan dua titik akhir kepada Anda.