Apa itu x jika log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3?

Apa itu x jika log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3?
Anonim

Menjawab:

Tidak ada solusi di # RR #.

Penjelasan:

Pertama-tama, mari sederhanakan:

Sebagai # e ^ x # dan #ln (x) # adalah fungsi terbalik, # e ^ ln (x) = x # memegang juga #ln (e ^ x) = x #. Ini berarti Anda dapat menyederhanakan istilah logaritmik ketiga Anda:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #

# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

Tujuan Anda selanjutnya adalah membawa semua # log # berfungsi ke basis yang sama sehingga Anda memiliki kesempatan untuk menggunakan aturan logaritma dan menyederhanakannya.

Anda dapat mengubah basis logaritma sebagai berikut:

#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #

Mari kita gunakan aturan ini untuk mengubah basis #8# dari # log_8 # dan dasar #32# dari # log_32 # ke pangkalan #2#:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

Sekarang, kita bisa menghitung # log_2 (8) = 3 # dan # log_2 (32) = 5 #

(jika tidak jelas, izinkan saya memecahnya hanya untuk memastikan: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)

Ini membawa kita ke persamaan logaritmik berikut yang lebih sederhana:

# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

… kalikan kedua sisi dengan #3#

# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

Sekarang kita siap menggunakan aturan logaritma:

#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # dan #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #

Tujuannya adalah memiliki satu saja # log # Istilah di sisi kiri. Ayo lakukan.:)

# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

Pada titik ini, kita dapat menyingkirkan # log_2 (a) # dengan menerapkan fungsi terbalik # 2 ^ a # untuk kedua sisi persamaan.

# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #

Sayangnya, saya harus mengakui bahwa saya mandek pada saat ini karena saya tidak tahu bagaimana menyelesaikan persamaan ini.

Namun, merencanakan #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # memberitahu saya bahwa persamaan ini tidak memiliki solusi dalam # RR #.

grafik {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}

Saya harap ini sedikit membantu!