Bagaimana Anda mengintegrasikan int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Menjawab:

Gunakan # u #-substitusi untuk mendapatkan # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Penjelasan:

Pertama, perhatikan itu karena #3# adalah konstanta, kita dapat menariknya keluar dari integral untuk menyederhanakan:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Sekarang - dan ini adalah bagian terpenting - perhatikan bahwa turunan dari #cot (t) # aku s # -csc ^ 2 (t) #. Karena kita memiliki fungsi dan turunannya dalam integral yang sama, kita dapat menerapkan a # u # substitusi seperti ini:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Kita dapat mengonversi yang positif # csc ^ 2 (t) # ke negatif seperti ini:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Dan terapkan substitusi:

# -3int (du) / u #

Kami tahu itu #int (du) / u = lnabs (u) + C #, jadi evaluasi integral dilakukan. Kami hanya perlu membalikkan pengganti (masukkan kembali jawabannya dalam hal # t #) dan lampirkan itu #-3# untuk hasilnya. Sejak # u = cot (t) #, kita bisa bilang:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

Dan itu saja.

Menjawab:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Penjelasan:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Ingat bahwa

#sin 2t = 2sint * biaya #

Begitu

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Seperti yang dapat kita temukan dalam tabel integral

(misalnya Tabel integral yang mengandung Csc (kapak) dalam SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((kapak) / 2) | #

kami mendapatkan hasil ini

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #