Bagaimana Anda mengintegrasikan int detik ^ -1x dengan integrasi dengan metode bagian?

Menjawab:

Jawabannya adalah # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Penjelasan:

Kita butuh

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) # #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrasi oleh bagian adalah

# intu'v = uv-intuv '#

Di sini, kita punya

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Karena itu, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Lakukan integral kedua dengan substitusi

Membiarkan # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((detik ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Membiarkan # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (dtk ^ 2u + secutanu) du #

Begitu, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Akhirnya, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Menjawab:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Penjelasan:

Sebagai alternatif, kita dapat menggunakan rumus yang sedikit diketahui untuk mengerjakan integral fungsi terbalik. Rumus menyatakan:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

dimana # f ^ -1 (x) # adalah kebalikan dari #f (x) # dan #F (x) # adalah anti-derivatif dari #f (x) #.

Dalam kasus kami, kami mendapatkan:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Sekarang yang perlu kita selesaikan adalah anti-derivatif # F #, yang merupakan integral garis potong yang umum:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Memasukkan ini kembali ke formula memberikan jawaban terakhir kami:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Kita harus berhati-hati dalam menyederhanakan #tan (sec ^ -1 (x)) # untuk #sqrt (x ^ 2-1) # karena identitasnya hanya valid jika # x # positif. Kita beruntung, bagaimanapun, karena kita dapat memperbaikinya dengan meletakkan nilai absolut pada istilah lain di dalam logaritma. Ini juga menghilangkan kebutuhan untuk nilai absolut pertama, karena segala sesuatu di dalam logaritma akan selalu positif:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #