Mengapa akar kuadrat dari 5 bilangan irasional?

Menjawab:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Berikut ini sketsa bukti berdasarkan kontradiksi:

Seharusnya #sqrt (5) = p / q # untuk beberapa bilangan bulat positif # p # dan # q #.

Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat mengira itu #p, q # adalah angka terkecil seperti itu.

Kemudian menurut definisi:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Kalikan kedua ujungnya dengan # q ^ 2 # mendapatkan:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Begitu # p ^ 2 # habis dibagi #5#.

Lalu sejak itu #5# adalah prima, # p # harus habis dibagi #5# terlalu.

Begitu #p = 5m # untuk beberapa bilangan bulat positif # m #.

Jadi kita punya:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Bagi kedua ujungnya dengan #5# mendapatkan:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Bagi kedua ujungnya dengan # m ^ 2 # mendapatkan:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Begitu #sqrt (5) = q / m #

Sekarang #p> q> m #jadi #q, m # adalah sepasang bilangan bulat yang lebih kecil yang hasil bagi #sqrt (5) #, bertentangan dengan hipotesis kami.

Jadi hipotesis kami itu #sqrt (5) # dapat diwakili oleh # p / q # untuk beberapa bilangan bulat # p # dan # q # itu salah. Itu adalah, #sqrt (5) # tidak rasional. Itu adalah, #sqrt (5) # tidak rasional.