Buktikan bahwa bilangan sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) tidak rasional untuk bilangan asli n lebih dari 1?

Menjawab:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Seharusnya:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # rasional

Maka kuadratnya harus rasional, yaitu.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

dan karenanya demikian adalah:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Kita dapat berulang kali menyamakan dan mengurangi untuk menemukan bahwa yang berikut ini harus rasional:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Karenanya # n = k ^ 2 # untuk beberapa bilangan bulat positif #k> 1 # dan:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Perhatikan bahwa:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Karenanya # k ^ 2 + k-1 # bukan kuadrat dari bilangan bulat baik dan #sqrt (k ^ 2 + k-1) # tidak rasional, bertentangan dengan pernyataan kami bahwa #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # rasional.

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Asumsi

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # dengan # p / q # kita tidak bisa direduksi

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

yang tidak masuk akal, karena sesuai dengan hasil ini, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah rasional.

Kekuatan keempat dari perbedaan umum dari perkembangan aritmatika adalah dengan entri bilangan bulat ditambahkan ke produk dari setiap empat syarat berturut-turut itu. Buktikan bahwa jumlah yang dihasilkan adalah kuadrat dari bilangan bulat?

Biarkan perbedaan umum dari AP bilangan bulat menjadi 2d. Empat syarat perkembangan yang berurutan dapat direpresentasikan sebagai a-3d, a-d, a + d, dan + 3d, di mana a adalah bilangan bulat. Jadi jumlah produk dari keempat istilah ini dan kekuatan keempat dari perbedaan umum (2d) ^ 4 adalah = warna (biru) ((a-3d) (iklan) (a + d) (a + 3d)) + warna (merah) ((2d) ^ 4) = warna (biru) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + warna (merah) (16d ^ 4) = warna (biru ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + warna (merah) (16d ^ 4) = warna (hijau) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = warna (hijau) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2, yang merupakan kuadrat sempurna

"Lena memiliki 2 bilangan bulat berurutan.Dia memperhatikan bahwa jumlah mereka sama dengan perbedaan antara kotak mereka. Lena mengambil 2 bilangan bulat berturut-turut dan memperhatikan hal yang sama. Buktikan secara aljabar bahwa ini berlaku untuk setiap 2 bilangan bulat berturut-turut?

Silakan merujuk ke Penjelasan. Ingat bahwa bilangan bulat berurutan berbeda dengan 1. Oleh karena itu, jika m adalah satu bilangan bulat, maka, bilangan bulat yang berhasil harus n + 1. Jumlah dari kedua bilangan bulat ini adalah n + (n + 1) = 2n + 1. Perbedaan antara kotak mereka adalah (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, seperti yang diinginkan! Rasakan Kegembiraan Matematika.!

Biarkan a menjadi bilangan rasional bukan nol dan b menjadi bilangan irasional. Apakah a - b rasional atau tidak rasional?

Segera setelah Anda memasukkan bilangan irasional dalam perhitungan, nilainya tidak rasional. Segera setelah Anda memasukkan bilangan irasional dalam perhitungan, nilainya tidak rasional. Pertimbangkan pi. pi tidak rasional. Karenanya 2pi, "" 6+ pi, "" 12-pi, "" pi / 4, "" pi ^ 2 "" sqrtpi dll juga tidak rasional.