Apa persamaan parabola dengan fokus pada (5,3) dan directrix dari y = -12?

Menjawab:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Penjelasan:

Definisi parabola menyatakan bahwa semua titik pada parabola selalu memiliki jarak yang sama dengan fokus dan directrix.

Kita bisa membiarkan # P = (x, y) #, yang akan mewakili poin umum pada parabola, bisa kita biarkan # F = (5,3) # mewakili fokus dan # D = (x, -12) # mewakili titik terdekat pada directrix, the # x # karena titik terdekat pada directrix selalu lurus ke bawah.

Kita sekarang dapat mengatur persamaan dengan titik-titik ini. Kami akan menggunakan rumus jarak untuk menghitung jarak:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Kita bisa menerapkan ini pada poin kita untuk pertama mendapatkan jarak antara # P # dan # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Lalu kita akan mencari jarak antara # P # dan # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Karena jarak ini harus sama satu sama lain, kita dapat menempatkannya dalam persamaan:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Karena intinya # P # adalah dalam bentuk umum dan dapat mewakili setiap titik pada parabola, jika kita bisa menyelesaikannya # y # dalam persamaan, kita akan dibiarkan dengan persamaan yang akan memberi kita semua poin pada parabola, atau dengan kata lain, itu akan menjadi persamaan parabola.

Pertama, kami akan menyejajarkan kedua sisi:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Kami kemudian dapat memperluas:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Jika kita meletakkan semuanya di sebelah kiri dan mengumpulkan istilah seperti, kita mendapatkan:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

yang merupakan persamaan parabola kami.