Temukan area wilayah yang diarsir?

Menjawab:

Silahkan lihat di bawah ini.

Penjelasan:

Ketika kami pertama kali belajar menemukan area dengan integrasi, kami mengambil persegi panjang yang representatif secara vertikal.

Kotak memiliki dasar # dx # (perubahan kecil pada # x #) dan ketinggian sama dengan yang lebih besar # y # (Yang di kurva atas) minus yang lebih rendah # y # nilai (yang ada di kurva bawah). Kami kemudian berintegrasi dari yang terkecil # x # nilai untuk yang terbesar # x # nilai.

Untuk masalah baru ini, kita dapat menggunakan dua intergral seperti itu (Lihat jawaban oleh Jim S), tetapi sangat berharga untuk belajar mengubah pemikiran kita #90^@#.

Kami akan mengambil persegi panjang representatif dengan mengerikan.

Persegi panjang memiliki ketinggian # dy # (perubahan kecil pada # y #) dan basis sama dengan yang lebih besar # x # (yang ada di kurva paling kanan) minus yang lebih rendah # x # nilai (yang ada di kurva paling kiri). Kami kemudian berintegrasi dari yang terkecil # y # nilai untuk yang terbesar # y # nilai.

Perhatikan dualitas

# {:("vertikal", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("atas", iff, "paling kanan"), ("lebih rendah", iff, "paling kiri"), (x, iff, y):} #

Ungkapan "dari yang terkecil # x # nilai untuk yang terbesar # x # nilai. "menunjukkan bahwa kita mengintegrasikan dari kiri ke kanan. (Dalam arah peningkatan # x # nilai.)

Ungkapan "dari yang terkecil # y # nilai untuk yang terbesar # y # nilai. "menunjukkan bahwa kami mengintegrasikan dari bawah ke atas. (Dalam arah peningkatan # y # nilai.)

Ini adalah gambar wilayah dengan kotak kecil yang ditunjukkan:

Daerah itu

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Menjawab:

Area wilayah yang diarsir adalah # 1m ^ 2 #

Penjelasan:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (bisa kita lihat dari grafik)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (kita juga bisa melihat dari grafik)

Salah satu dari banyak cara area wilayah yang diarsir dapat diekspresikan bisa sebagai area segitiga # AhatOB = Ω # tidak termasuk area cyan yang akan saya hubungi #color (cyan) (Ω_3) #

Membiarkan #Ω_1# menjadi area hitam yang ditunjukkan pada grafik dan #color (green) (Ω_2) # area hijau yang ditunjukkan pada grafik.

Luas segitiga kecil # ChatAD = # #color (green) (Ω_2) # akan:

• #color (green) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Area dari #Ω_1# akan:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Akibatnya, area yang diarsir akan menjadi

• #Ω_1## + warna (hijau) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #