Lebih lanjut tentang Mekanika?

Lebih lanjut tentang Mekanika?
Anonim

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Kami akan menggunakan formulasi Euler Lagrange

# d / dt ((partialL) / (partial parsial q_i)) - (parsial L) / (parsial q_i) = Q_i #

dimana #L = T-V #. Dalam latihan ini kita miliki # V = 0 # begitu #L = T #

Panggilan # x_a # tengah silinder kiri koordinat dan # x_b # yang kaku, kita miliki

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Sini # sinalpha = R / Lsintheta # jadi gantikan #alfa#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

sekarang diturunkan

#dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) dot theta #

tapi

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Sini # J # adalah momentum inersia mengenai pusat massa. Juga,

# v_a = dot x_a = R dot theta #

#omega_a = dot theta #

jadi, setelah pergantian dan panggilan #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # kita punya

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) dot theta ^ 2 #

Kami memilih # theta # sebagai koordinat umum. Jadi kita akan mengurangi # F # menggerakkan dalam koordinat # x # ke kekuatan yang setara di # theta #. Koordinat ini bertindak bergulir dengan bijak sehingga kita membutuhkan momentum umum tentang titik kontak di lantai, yaitu

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Persamaan pergerakan diperoleh setelah

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + dosa (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # sekarang pemecahan untuk #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Terlampir dua plot. Pertunjukan pertama # theta # evolusi dan yang kedua adalah untuk # dottheta #

Nilai parameter:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Gaya yang diberikan ditampilkan dalam warna merah pudar.