Apakah integral dari int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Menjawab:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Penjelasan:

Masalah besar kita dalam integral ini adalah root, jadi kami ingin menyingkirkannya. Kita bisa melakukan ini dengan memperkenalkan substitusi # u = sqrt (2x-1) #. Derivatifnya kemudian

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Jadi kita membagi (dan ingat, membagi dengan timbal balik sama dengan mengalikan hanya dengan penyebut) untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) batalkan (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Sekarang yang perlu kita lakukan hanyalah mengekspresikan # x ^ 2 # istilah dari # u # (karena Anda tidak dapat mengintegrasikan # x # dengan hormat # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Kita bisa pasang ini kembali ke integral kami untuk mendapatkan:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Ini dapat dievaluasi menggunakan aturan daya terbalik:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Pengganti untuk # u = sqrt (2x-1) #, kita mendapatkan:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #