Bagaimana Anda mengevaluasi integral int (dt) / (t-4) ^ 2 dari 1 hingga 5?

Menjawab:

Pengganti # x = t-4 #

Jawabannya adalah, jika Anda memang diminta untuk hanya menemukan integral:

#-4/3#

Jika Anda mencari daerah itu, itu tidak sesederhana itu.

Penjelasan:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Set:

# t-4 = x #

Oleh karena itu diferensial:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

Dan batasannya:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Sekarang gantikan ketiga nilai ini yang ditemukan:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

CATATAN: JANGAN MEMBACA INI JIKA ANDA TIDAK TELAH DIAJUKAN BAGAIMANA MENCARI DAERAH. Meskipun ini seharusnya benar-benar mewakili area antara dua batas dan karena selalu positif, itu seharusnya positif. Namun, fungsi ini tidak kontinu di # x = 4 # jadi integral ini tidak mewakili area, jika itu yang Anda inginkan. Ini sedikit lebih rumit.

Menjawab:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Penjelasan:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / (1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Menjawab:

Bergantung pada seberapa banyak integrasi yang telah Anda pelajari jawaban "terbaik" akan menjadi: "integral tidak didefinisikan" (belum) atau "divergen integral"

Penjelasan:

Ketika kami mencoba mengevaluasi # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, kita harus memeriksa bahwa integrand didefinisikan pada interval yang kita integrasikan.

# 1 / (x-4) ^ 2 # tidak didefinisikan pada #4#, begitulah tidak didefinisikan pada seluruh interval #1,5#.

Di awal studi tentang kalkulus, kami mendefinisikan integral dengan memulai dengan

"Membiarkan # f # ditetapkan pada interval # a, b #… '

Begitu awal dalam penelitian kami, jawaban terbaik adalah itu

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# tak terdefinisi (namun?)

Nanti kita memperluas definisi untuk apa yang disebut "integral tidak benar"

Ini termasuk integral pada interval tanpa batas (# (- oo, b #, # a, oo) # dan # (- oo, oo) #) dan juga interval di mana integrand memiliki titik di mana itu tidak didefinisikan.

Untuk (mencoba) untuk mengevaluasi # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, kami mengevaluasi dua integral yang tidak tepat # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Perhatikan bahwa integand masih belum didefinisikan pada ini Tutup interval.)

Metode ini untuk mengganti titik di mana integand tidak ditentukan oleh variabel, lalu ambil batasan ketika variabel mendekati angka.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Mari kita cari integralnya dulu:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Mencari batas sebagai # brarr4 ^ - #, kami melihat bahwa batas tidak ada. (Sebagai # brarr4 ^ - #, nilai dari # -1 / (b-4) # meningkat tanpa batas.)

Oleh karena itu, integral sudah selesai #1,4# tidak ada sehingga tidak terpisahkan #1,5# tidak ada.

Kami mengatakan bahwa integral menyimpang.

Catatan

Beberapa orang akan mengatakan: kita sekarang memiliki definisi dari integral, hanya saja tidak ada angka yang memenuhi definisi.