Apa itu f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx jika f (pi / 6) = 1?

Menjawab:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Penjelasan:

Kita mulai dengan membagi integral menjadi tiga:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Saya akan memanggil Integral 1 integral kiri dan Integral 2 yang tepat

Integral 1

Di sini kita perlu integrasi dengan bagian-bagian dan sedikit trik. Formula untuk integrasi berdasarkan bagian adalah:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Dalam hal ini, saya akan membiarkan #f (x) = e ^ x # dan #g '(x) = cos (x) #. Kami mengerti

#f '(x) = e ^ x # dan #g (x) = sin (x) #.

Ini menjadikan integral kami:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Sekarang kita dapat menerapkan integrasi dengan bagian lagi, tetapi kali ini dengan #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Sekarang kita dapat menambahkan integral ke kedua sisi, memberikan:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Pertama-tama kita dapat menggunakan identitas:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Ini memberi:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Sekarang kita dapat menggunakan identitas pythagoras:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Sekarang kita dapat memperkenalkan substitusi u dengan # u = cos (x) #. Kami kemudian membagi dengan turunannya, # -sin (x) # untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #:

# -int (batal (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (batal (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Melengkapi integral asli

Sekarang kita tahu Integral 1 dan Integral 2, kita dapat menyambungkannya kembali ke integral asli dan menyederhanakan untuk mendapatkan jawaban akhir:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Sekarang kita tahu antiderivatif, kita dapat memecahkan konstanta:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Ini memberi fungsi bahwa kita adalah:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #