Diketahui bahwa persamaan bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 memiliki satu akar nyata. Buktikan bahwa persamaan x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tidak memiliki akar nyata.?

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Akar untuk # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # adalah

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Akar akan menjadi kebetulan dan nyata jika

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

atau

# a = b # atau #a = 5b #

Sekarang sedang memecahkan

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # kita punya

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Kondisi untuk akar yang kompleks adalah

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

sekarang membuat #a = b # atau #a = 5b # kita punya

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Penutup, jika # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # memiliki akar nyata kebetulan itu # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # akan memiliki akar yang kompleks.

Kita diberi persamaan:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

memiliki satu akar nyata, oleh karena itu pembeda dari persamaan ini adalah nol:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, atau # a = 5b #

Kami berupaya menunjukkan persamaan:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

tidak memiliki akar nyata. Ini akan membutuhkan diskriminan negatif. Diskriminan untuk persamaan ini adalah:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Dan sekarang mari kita perhatikan dua kemungkinan kasus yang memenuhi persamaan pertama:

Kasus 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Kasus 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Karenanya kondisi dari persamaan pertama sedemikian sehingga persamaan kedua selalu memiliki diskriminan negatif, dan karena itu memiliki akar yang kompleks (yaitu tidak ada akar nyata), QED