Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Menjawab:

#(0,0)# adalah titik pelana

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # dan # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # adalah maxima lokal

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # dan # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # adalah minimum lokal

# (0, siang 1 / sqrt 2) # dan # (pm 1 / sqrt 2.0) # adalah titik belok.

Penjelasan:

Untuk fungsi umum #F (x, y) # dengan titik stasioner di # (x_0, y_0) # kami memiliki ekspansi seri Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Untuk fungsinya

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

kita punya

# (del f) / (del x) = kamu ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Sangat mudah untuk melihat bahwa kedua turunan pertama lenyap pada ponrs berikut

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Untuk memeriksa sifat dari titik-titik stasioner ini, kita perlu melihat perilaku turunan kedua di sana.

Sekarang

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

dan demikian pula

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

dan

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Maka untuk #(0,0)# kita punya # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - karenanya

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Jika Anda mendekat #(0,0)# sepanjang garis # x = y #, ini menjadi

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

dan sebagainya #(0,0)# jelas minimum jika Anda mendekati dari arah ini. Di sisi lain, jika Anda mendekati garis # x = -y # kita punya

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

dan sebagainya #(0,0)# maksimum di sepanjang arah ini, Demikian #(0,0)# adalah titik pelana.

Untuk # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # mudah dilihat itu

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

yang berarti itu

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Jadi, fungsinya menurun ke arah mana Anda menjauh # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # dan ini adalah maksimum lokal. Sangat mudah terlihat bahwa hal yang sama berlaku juga # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (Ini seharusnya sudah jelas, karena fungsi tetap sama di bawah # (x, y) ke (-x, -y) #!

Sekali lagi, untuk keduanya # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # dan # (- 1 / sqrt2, 1 / sqrt2) # kita punya

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Jadi, kedua titik ini adalah minimum lokal.

Empat poin # (0, pm 1 / sqrt2) # dan # (pm 1 / sqrt2, 0) # lebih bermasalah - karena semua turunan urutan kedua menghilang pada titik-titik ini. Kita sekarang harus melihat turunan orde tinggi. Untungnya, kita tidak benar-benar perlu bekerja sangat keras untuk ini - hasil turunan berikutnya

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

yang bukan nol untuk keduanya # (0, pm 1 / sqrt2) # dan # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Sekarang, ini artinya, misalnya

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

yang menunjukkan bahwa ini akan meningkat dari # f (0,1 / sqrt 2) # dalam satu arah, dan menurun dari itu di yang lain. Demikian # (0,1 / sqrt2) # adalah titik infleksi **. Argumen yang sama berlaku untuk tiga poin lainnya.