Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Menjawab:

Penjelasan:

Kita punya:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Langkah 2 - Identifikasi Poin Kritis

Titik kritis terjadi pada solusi simultan dari

# f_x = f_y = 0 iff (sebagian f) / (sebagian x) = (sebagian f) / (sebagian y) = 0 #

yaitu ketika:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. SEBUAH

Memecahkan A dan B secara bersamaan, kami mendapatkan solusi tunggal:

# x = y = 1 #

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa ada satu poin penting:

# (1,1) #

Langkah 3 - Klasifikasi poin-poin penting

Untuk mengklasifikasikan titik-titik kritis kami melakukan tes yang mirip dengan satu kalkulus variabel menggunakan turunan parsial kedua dan Matriks Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)), ((parsial ^ 2 f) / (parsial y parsial x), (parsial ^ 2 f) / (parsial y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Kemudian tergantung pada nilai #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Menggunakan makro excel kustom, nilai fungsi bersama dengan nilai turunan parsial dihitung sebagai berikut:

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domain definisi: f (x) = 2x ^ 2lnx adalah interval x dalam (0, + oo). Mengevaluasi turunan pertama dan kedua dari fungsi: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Poin kritis adalah solusi dari: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 dan sebagai x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Pada titik ini: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 sehingga titik kritis adalah minimum lokal. Poin pelana adalah solusi dari: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 dan karena f '' (x) adalah peningkatan monoton kita dapat

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Fungsi ini tidak memiliki titik stasioner (apakah Anda yakin bahwa f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x adalah salah satu yang ingin Anda pelajari ?!). Menurut definisi titik sadel yang paling tersebar (titik-titik diam yang tidak ekstrem), Anda sedang mencari titik-titik diam fungsi dalam domainnya D = (x, y) dalam RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) dalam RR ^ 2}. Kita sekarang dapat menulis ulang ekspresi yang diberikan untuk f dengan cara berikut: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Cara untuk mengidentifikasi mereka adalah dengan mencari titik-titik yang membatalkan gradien dari f, yang merupakan vektor turunan

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: ("Critical Point", "Kesimpulan"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "saddle"), ((-1,2), "saddle" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teori untuk mengidentifikasi ekstrema z = f (x, y) adalah: Memecahkan secara simultan persamaan kritis (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 (yaitu z_x = z_y = 0) Evaluasi f_ (xx), f_ (yy) dan f_ (xy) (= f_ (yx)) di masing-masing titik kritis ini . Karena itu evaluasi Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 pada masing-masing titik ini Tentukan sifat ekstrema; {: (Delta> 0, "Ada minimum jika" f_ (xx) <0), (, "