Apa ekstrem lokal dari f (x) = xlnx-xe ^ x?

Menjawab:

Fungsi ini tidak memiliki ekstrema lokal.

Penjelasan:

#f (x) = xlnx-xe ^ x menyiratkan #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Untuk # x # menjadi ekstrem lokal, #g (x) # harus nol. Kami sekarang akan menunjukkan bahwa ini tidak terjadi untuk nilai riil apa pun # x #.

Catat itu

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Demikian #g ^ '(x) # akan lenyap jika

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Ini adalah persamaan transendental yang dapat diselesaikan secara numerik. Sejak #g ^ '(0) = + oo # dan #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, root terletak di antara 0 dan 1. Dan sejak itu #g ^ {''} (0) <0 # untuk semua positif # x #, ini adalah satu-satunya root dan sesuai dengan maksimum untuk #g (x) #

Sangat mudah untuk menyelesaikan persamaan secara numerik, dan ini menunjukkan hal itu #g (x) # mempunyai sebuah maksimum di # x = 0,3152 # dan nilai maksimumnya adalah #g (0.3152) = -1.957 #. Karena nilai maksimum #g (x) # negatif, tidak ada nilai # x # dimana #g (x) # lenyap.

Mungkin instruktif untuk melihat ini secara grafis:

grafik {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1.175, 0,075}

Seperti yang bisa Anda lihat dari grafik di atas, fungsinya #f (x) # sebenarnya memiliki maksimum di # x = 0 # - tapi ini bukan maksimum lokal. Grafik di bawah ini menunjukkan hal itu #g (x) equiv f ^ '(x) # tidak pernah mengambil nilai nol.

grafik {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}