Apa asimtot dan diskontinuitas yang dapat dilepas, jika ada, dari f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Menjawab:

#f (x) # memiliki asymptote horizontal # y = 0 # dan asymptote vertikal # x = 0 #

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Domain pembilang #sqrt (x) # aku s # 0, oo) #

• Domain penyebut # e ^ x - 1 # aku s # (- oo, oo) #

• Penyebutnya nol saat # e ^ x = 1 #, yang untuk nilai nyata # x # hanya terjadi ketika # x = 0 #

Karenanya domain dari #f (x) # aku s # (0, oo) #

Menggunakan ekspansi seri # e ^ x #, kita punya:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (white) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (white) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (white) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Begitu:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

dan:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Begitu #f (x) # memiliki asimtot vertikal # x = 0 # dan asymptote horizontal # y = 0 #

grafik {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}