Menjawab:
Untuk pihak ketiga menjadi yang terpendek, kami membutuhkan # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (dan itu #Sebuah# dan # b # memiliki tanda yang sama).
Penjelasan:
Sisi terpanjang dari segitiga siku-siku selalu merupakan sisi miring. Jadi kita tahu panjang sisi miringnya # a ^ 2 + b ^ 2. #
Biarkan panjang sisi yang tidak diketahui # c. # Kemudian dari teorema Pythagoras, kita tahu
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
atau
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (white) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (white) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (white) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (white) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Kami juga mengharuskan semua panjang sisi positif, jadi
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 atau b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 atau a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Sekarang, untuk apa saja segitiga, sisi terpanjang harus lebih pendek dari jumlah dari dua sisi lainnya. Jadi kita punya:
#color (white) (=>) 2ab + "" c color (putih) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2tb warna (putih) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," jika b> 0), (a <b "," jika b <0):} #
Selanjutnya, untuk pihak ketiga menjadi terkecil, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
atau # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # atau # a-b <sqrt2b # atau #a <b (1 + sqrt2) #
Menggabungkan semua pembatasan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa agar pihak ketiga menjadi yang terpendek, kita harus memiliki # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb dan (a, b <0 atau a, b> 0). #
