Bagaimana saya bisa membuktikan ini? Apakah ini akan menggunakan teorema dari analisis nyata?

# "Gunakan definisi turunan:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Di sini kita punya" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Kita perlu membuktikan bahwa" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"atau"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"atau"#

#h '(x_0) = 0 #

# "dengan" h (x) = f (x) - g (x) #

#"atau"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"atau"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(karena" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Sekarang"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "jika" h> 0 "dan" lim> = 0 "jika" h <0 #

# "Kami membuat asumsi bahwa f dan g dapat dibedakan" #

# "so" h (x) = f (x) - g (x) "juga dapat dibedakan," #

# "jadi batas kiri harus sama dengan batas kanan, jadi" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Menjawab:

Saya akan memberikan solusi yang lebih cepat daripada yang ada di http://socratic.org/s/aQZyW77G. Untuk ini, kita harus bergantung pada beberapa hasil yang akrab dari kalkulus.

Penjelasan:

Menetapkan #h (x) = f (x) -g (x) #

Sejak #f (x) le g (x) #, kita punya #h (x) le 0 #

Di # x = x_0 #, kita punya #f (x_0) = g (x_0) #, yang seperti itu #h (x_0) = 0 #

Demikian # x = x_0 # adalah maksimum dari fungsi terdiferensiasi #h (x) # dalam interval terbuka # (a, b) #. Demikian

#h ^ '(x_0) = 0 menyiratkan #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) menyiratkan #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #