Berapa luas yang diliputi oleh 2x + 3y <= 6?

Menjawab:

#A = 12 #

Penjelasan:

Nilai absolut diberikan oleh

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Dengan demikian, akan ada empat kasus untuk dipertimbangkan di sini. Area tertutup oleh # 2 | x | +3 | y | <= 6 # akan menjadi area tertutup oleh empat kasus yang berbeda. Ini adalah, masing-masing:

#diamond x> 0 dan y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

Bagian dari area yang kita cari akan menjadi area yang ditentukan oleh grafik

#y = 2-2 / 3x #

dan kapak:

Karena ini adalah segitiga siku-siku dengan simpul #(0,2)#, #(3,0)# dan #(0,0)#, kakinya akan memiliki panjang #2# dan #3# dan wilayahnya adalah:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Kasus kedua akan terjadi

#diamond x <0 dan y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3t <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Sekali lagi, area yang dibutuhkan akan ditentukan oleh grafik # y = 2 + 2 / 3x # dan kapak:

Yang ini memiliki simpul #(0,2)#, #(-3,0)# dan #(0,0)#, sekali lagi memiliki kaki panjang #2# dan #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Jelas ada semacam simetri di sini. Secara analogi, penyelesaian untuk empat bidang akan menghasilkan hasil yang sama; semua segitiga memiliki luas #3#. Dengan demikian, area tertutup oleh

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

aku s

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Seperti yang terlihat di atas, bentuknya dijelaskan oleh # 2 | x | +3 | y | <= 6 # adalah belah ketupat.