Bagaimana Anda menyederhanakan root3 (1)?

Menjawab:

#1# atau #1^(1/3)# =#1#

Penjelasan:

Akar potong dadu dari 1 sama dengan menaikkan 1 ke kekuatan #1/3#. 1 untuk kekuatan apa pun masih 1.

Menjawab:

Bekerja di real kita dapatkan #root 3 {1} = 1 #.

Setiap bilangan kompleks bukan nol memiliki tiga akar pangkat tiga, jadi itulah

#root 3 {1} = 1 atau -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Penjelasan:

Jika kami bekerja dalam bilangan real, kami hanya mencatat #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Saya akan menganggap ini tentang bilangan kompleks.

Salah satu hal aneh yang kita temukan ketika kita mempelajari bilangan kompleks adalah fungsinya #f (z) = e ^ {z} # berkala. Pertumbuhan eksponensial adalah kebalikan dari periodik, jadi ini mengejutkan.

Fakta kuncinya adalah Identitas Euler kuadrat. Saya menyebutnya Identitas Sejati Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Euler's True Identity menunjukkan # e ^ z # periodik dengan periode # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Kita dapat meningkatkan Identitas Sejati Euler ke kekuatan integer apa pun # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Apa hubungannya semua ini dengan akar pangkat tiga? Itu kuncinya. Ini memberitahu bahwa ada sejumlah cara penulisan yang tak terbatas. Beberapa dari mereka memiliki akar kubus yang berbeda dari yang lain. Itu sebabnya eksponen non-integer memunculkan banyak nilai.

Itu semua adalah akhir yang besar. Biasanya saya memulai ini dengan menulis:

# e ^ {2pi k i} = 1 kuad # untuk integer # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Langkah terakhir tentu saja Formula Euler # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Karena kita punya # 2pi # periodisitas fungsi trigonometri (yang mengikuti dari periodisitas eksponensial dan Formula Euler) kami hanya memiliki nilai unik selama tiga berturut-turut # k #s. Mari kita evaluasi ini # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Jadi kami mendapatkan tiga nilai untuk akar pangkat tiga dari satu:

#root 3 {1} = 1 atau -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #