Mayat ditemukan pada pukul 10 pagi di sebuah gudang di mana suhunya 40 ° F. Pemeriksa medis menemukan suhu tubuh menjadi 80 ° F. Berapa perkiraan waktu kematian?

Menjawab:

Perkiraan waktu kematian adalah #8:02:24# saya.

Penting untuk dicatat bahwa ini adalah suhu kulit tubuh. Pemeriksa medis akan mengukur suhu internal yang akan berkurang jauh lebih lambat.

Penjelasan:

Hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu sebanding dengan perbedaan suhu lingkungan. Yaitu

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Jika #T> T_0 # maka tubuh harus dingin sehingga turunannya harus negatif, maka kita masukkan konstanta proporsionalitas dan sampai

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Mengalikan braket dan memindahkan barang tentang membuat kami:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Sekarang dapat menggunakan metode faktor mengintegrasikan pemecahan ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Kalikan kedua sisi dengan #I (x) # mendapatkan

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Perhatikan bahwa dengan menggunakan aturan produk kita dapat menulis ulang LHS, meninggalkan:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrasikan kedua sisi dengan # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Dibagi dengan # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Suhu tubuh manusia rata-rata adalah # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Membiarkan # t_f # menjadi waktu di mana tubuh ditemukan.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1.96 jam #

Jadi dari saat kematian, dengan asumsi tubuh segera mulai dingin, butuh 1,96 jam untuk mencapai 80 ° F pada titik mana itu ditemukan.

# 1.96hr = 117.6 mnt #

Perkiraan waktu kematian adalah #8:02:24# saya