Apa solusi untuk persamaan diferensial dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Menjawab:

Solusi Umum adalah:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Penjelasan:

Kita punya:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Kami dapat mengumpulkan istilah untuk variabel serupa:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Yang merupakan Persamaan Diferensial Diferensial non-linear First Order yang dapat dipisahkan, jadi kami dapat melakukannya "pisahkan variabel" mendapatkan:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Kedua integral adalah fungsi standar, sehingga kita dapat menggunakan pengetahuan itu untuk secara langsung mengintegrasikan:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Dan kita bisa mengatur ulang # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Menuju Solusi Umum:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Menjawab:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Penjelasan:

Ini adalah persamaan diferensial yang dapat dipisahkan, yang artinya dapat ditulis dalam bentuk:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Ini dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan kedua sisi:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Dalam kasus kami, pertama-tama kita perlu memisahkan integral menjadi bentuk yang tepat. Kita bisa melakukan ini dengan membagi kedua sisi # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Sekarang kita dapat mengintegrasikan kedua sisi:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Kita dapat menyelesaikan integral tangan kiri dengan substitusi # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Mengganti kembali (dan menggabungkan konstanta) memberi:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Kalikan kedua sisi dengan # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Bagi kedua belah pihak dengan # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #