Bagaimana Anda membuktikan sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Menjawab:

Lakukan perkalian konjugasi, manfaatkan identitas trigonometri, dan sederhanakan. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Ingat Identitas Pythagoras # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Bagi kedua belah pihak dengan # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = dtk ^ 2x #

Kami akan menggunakan identitas penting ini.

Mari kita fokus pada ungkapan ini:

# secx + 1 #

Perhatikan bahwa ini setara dengan # (detik + 1) / 1 #. Lipat gandakan atas dan bawah # secx-1 # (Teknik ini dikenal sebagai perkalian konjugat):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (detik ^ 2x-1) / (secx-1) #

Dari # tan ^ 2x + 1 = dtk ^ 2x #, kita lihat itu # tan ^ 2x = dtk ^ 2x-1 #. Oleh karena itu, kita dapat mengganti pembilang dengan # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Masalah kita sekarang terbaca:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Kami memiliki penyebut yang sama, sehingga kami dapat menambahkan pecahan di sisi kiri:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Garis singgung membatalkan:

# (batal (tan ^ 2x) + 1-batal (tan ^ 2x)) / (detik-1) = cosx / (1-cosx) #

Meninggalkan kami dengan:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Sejak # secx = 1 / cosx #, kita dapat menulis ulang ini sebagai:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Menambahkan pecahan dalam penyebut, kita melihat:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Menggunakan properti # 1 / (a / b) = b / a #, kita punya:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Dan itu melengkapi buktinya.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (detik ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (red) ("putting", dtk ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (red) ("putting", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #