Angka 90 ^ 9 memiliki 1900 pembagi integral positif yang berbeda. Berapa banyak dari ini adalah kotak bilangan bulat?

Menjawab:

Wow - saya bisa menjawab pertanyaan saya sendiri.

Penjelasan:

Ternyata pendekatannya adalah kombinasi dari kombinatorik dan teori bilangan. Kami mulai dengan anjak piutang #90^9# menjadi faktor utama:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Kuncinya di sini adalah untuk mencari cara menemukan kotak bilangan bulat, yang relatif sederhana. Kuadrat bilangan bulat dapat dihasilkan dalam berbagai cara dari faktorisasi ini:

#5^9*3^18*2^9#

Kita bisa melihatnya #5^0#, misalnya, adalah kuadrat dari bilangan bulat dan pembagi #90^9#; juga, #5^2#, #5^4#,#5^6#, dan #5^8# semua memenuhi persyaratan ini juga. Oleh karena itu, kami memiliki 5 cara yang memungkinkan untuk mengonfigurasi pembagi #90^9# itu adalah kuadrat dari bilangan bulat, menggunakan 5s saja.

Alasan yang sama berlaku untuk #3^18# dan #2^9#. Setiap kekuatan genap dari faktor-faktor utama ini - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (total 10) untuk 3 dan 0, 2, 4, 6, 8 (5 total) untuk 2 - adalah kotak yang sempurna yang merupakan pembagi #90^9#. Selanjutnya, kombinasi apa pun pembagi utama ini yang memiliki kekuatan genap juga memenuhi persyaratan. Contohnya, #(2^2*5^2)^2# adalah kuadrat dari bilangan bulat, seperti #(3^8*2^4)^2#; dan keduanya, terdiri dari pembagi #90^9#, juga merupakan pembagi dari #90^9#.

Dengan demikian jumlah kotak yang diinginkan dari bilangan bulat yang merupakan pembagi #90^9# diberikan oleh #5*10*5#, yang merupakan penggandaan dari pilihan yang mungkin untuk setiap faktor utama (5 untuk 5, 10 untuk 3, dan 5 untuk 2). Ini sama dengan #250#, yang merupakan jawaban yang benar.