X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) ). Tolong bantu saya dengan pernyataan pertama?

Untuk memahami pernyataan ini, pertama-tama kita harus memahami notasi yang digunakan.

#A A# - untuk semua - Simbol ini menyiratkan bahwa sesuatu berlaku untuk setiap contoh dalam satu set. Jadi, ketika kita menambahkan variabel # x #, # AAx # berarti bahwa beberapa pernyataan berlaku untuk setiap kemungkinan nilai atau item yang bisa kami gantikan # x #.
#P (x), Q (x) # - dalil - Ini adalah proposisi logis tentang # x #, yaitu, mereka mewakili pernyataan tentang # x # yang benar atau salah untuk hal tertentu # x #.
# # - dan - Simbol ini memungkinkan kombinasi beberapa proposisi. Hasil gabungan ini benar ketika kedua proposisi mengembalikan true, dan false sebaliknya.
# # - atau - Simbol ini juga memungkinkan untuk kombinasi beberapa proposisi. Hasil gabungan salah ketika kedua proposisi mengembalikan false, dan benar sebaliknya.
# # - jika dan hanya jika - Simbol ini juga memungkinkan untuk kombinasi beberapa proposisi. Hasil gabungan ini benar ketika kedua proposisi mengembalikan nilai kebenaran yang sama untuk semua # x #, dan salah jika tidak.

Dengan ini, kita sekarang dapat menerjemahkan pernyataan. Pernyataan pertama, secara langsung diutarakan, akan terdengar seperti "Untuk semua x, P x dan Q x jika dan hanya jika untuk semua x, P x, dan untuk semua x, Q x."

Beberapa tambahan kecil dan modifikasi membuatnya sedikit lebih dimengerti.

"Untuk semua x, P dan Q benar untuk x jika dan hanya jika P benar untuk semua x dan Q berlaku untuk semua x."

Pernyataan ini adalah tautologi, yaitu benar, terlepas dari apa yang kami gantikan dengan P atau Q. Kami dapat menunjukkan ini dengan menunjukkan bahwa proposisi sebelum menyiratkan yang setelahnya, dan sebaliknya.

Mulai dari pernyataan sebelumnya, kami memilikinya untuk setiap # x #, #P (x) Q (x) # adalah benar. Menurut definisi kami di atas, itu berarti untuk setiap # x #, #P (x) # itu benar dan #Q (x) # adalah benar. Ini menyiratkan bahwa untuk apa pun # x #, #P (x) # itu benar dan untuk apa pun # x #, #Q (x) # benar, yang merupakan pernyataan yang muncul setelah.

Jika kita mulai dari pernyataan yang muncul setelah, maka kita tahu itu untuk apa saja # x #, #P (x) # itu benar dan untuk apa pun # x #, #Q (x) # adalah benar. Lalu untuk semua # x #, #P (x) # dan #Q (x) # keduanya benar, artinya untuk semua # x #, #P (x) Q (x) # adalah benar. Ini membuktikan bahwa pernyataan pertama selalu benar.

Pernyataan kedua salah. Tanpa melalui proses penuh seperti di atas, kita dapat dengan mudah menunjukkan bahwa dua proposisi di kedua sisi tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama. Misalnya, anggap itu untuk setengah dari semua kemungkinan # x #, #P (x) # itu benar dan #Q (x) # salah, dan untuk setengah lainnya, #Q (x) # itu benar dan #P (x) # itu salah.

Dalam hal ini, seperti untuk semua # x #, antara #P (x) # atau #Q (x) # itu benar, proposisi #AAx (P (x) Q (x)) # benar (lihat deskripsi di atas). Tetapi, karena ada nilai untuk # x # untuk itu #P (x) # salah, proposisi #AAxP (x) # itu salah. Demikian pula, #AAxQ (x) # juga salah, artinya #AAxP (x) AAxQ (x) # itu salah.

Karena kedua proposisi memiliki nilai kebenaran yang berbeda, jelas kebenaran yang satu tidak menjamin kebenaran yang lain, dan karenanya bergabung dengan mereka menghasilkan proposisi baru yang salah.