Berapa jarak antara (0, 0, 8) dan (9, 2, 0)?

Menjawab:

Jaraknya adalah #sqrt (149) #

Penjelasan:

Jarak antara dua titik

# (x_1, y_1, z_1) #

dan

# (x_2, y_2, z_2) #

di # RR ^ 3 # (tiga dimensi) diberikan oleh

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Menerapkannya pada masalah yang ada, kita mendapatkan jarak di antara keduanya #(0, 0, 8)# dan #(9, 2, 0)# sebagai

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Berikut ini adalah penjelasan dari mana rumus jarak berasal, dan tidak perlu untuk memahami solusi di atas.

Rumus jarak yang diberikan di atas terlihat mencurigakan mirip dengan rumus jarak di # RR ^ 2 # (dua dimensi):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

yang berasal dari aplikasi sederhana dari teorema Pythagoras, dengan menggambar segitiga siku-siku antara dua titik dengan kaki sejajar dengan # x # dan # y # kapak.

Ternyata, itu # RR ^ 3 # versi dapat diturunkan dengan cara yang serupa. Jika kita menggunakan (paling banyak) 3 baris untuk menghubungkan dua titik, paralel dengan # x #, # y #, dan # z # kapak, kami mendapatkan kotak dengan titik-titik sebagai sudut yang berlawanan. Jadi, mari kita cari tahu cara menghitung jarak melintasi diagonal kotak.

Kami mencoba mencari tahu panjang garis merah #warna (merah) (AD) #

Karena ini adalah sisi miring dari segitiga # ABD #, dari teorema Pythagoras:

# (warna (merah) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (warna (biru) (BC)) ^ 2 #

# => warna (merah) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (warna (biru) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Sayangnya, kami tidak memiliki panjang #warna (biru) (BD) # seperti yang diberikan. Untuk mendapatkannya, kita harus sekali lagi menerapkan teorema Pythagoras, kali ini ke segitiga # BCD #.

# (warna (biru) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Karena kita hanya membutuhkan kuadrat #warna (biru) (BD) #, sekarang kita bisa mengganti # ("ii") # ke #("saya")#:

#color (red) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Akhirnya, jika kita punya #SEBUAH# di # (x_1, y_1, z_1) # dan # D # di # (x_2, y_2, z_2) #, maka kita memiliki panjang

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Mengganti ini menjadi yang di atas memberi kita hasil yang diinginkan.

Sebagai catatan tambahan, sementara kita hanya dapat dengan mudah melakukan pembuktian geometris hingga 3 dimensi, matematikawan telah menggeneralisasi jarak dalam # RR ^ n # (# n # ukuran). Jarak antara

# (x_1, x_2, …, x_n) # dan # (y_1, y_2, …, y_n) # didefinisikan sebagai

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

yang cocok dengan pola dari # RR ^ 2 # dan # RR ^ 3 #.