Apa rumus pengulangan untuk L_n? L_n adalah jumlah string (a_1, a_2, ..., a_n) dengan kata-kata dari set {0, 1, 2} tanpa 0 dan 2 yang berdekatan.

Menjawab:

# L_1 = 3, L_2 = 7, L_ (n + 1) = 2L_n + L_ (n-1) "" (n> = 2) #

Penjelasan:

Pertama kita harus temukan # L_1 # dan # L_2 #.

# L_1 = 3 # karena hanya ada tiga string: #(0) (1) (2)#.

# L_2 = 7 #, karena semua string tanpa angka 0 dan 2 berdekatan

#(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)#

Sekarang kita akan menemukan pengulangan # L_n # # (n> = 3) #.

Jika string berakhir #1#, kita bisa memberi kata setelah itu.

Namun, jika string berakhir #0# kita bisa menempatkannya saja #0# atau #1#.

Mirip, jika string berakhir #2# kita bisa menempatkannya saja #1# atau #2#.

Membiarkan #P_n, Q_n, R_n # menjadi jumlah string tanpa #0# dan #2# di posisi yang berdekatan dan berakhir di #0,1,2#masing-masing.

# L_n, P_n, Q_n # dan # R_n # ikuti perulangan di bawah ini:

# L_n = P_n + Q_n + R_n # (saya)

#P_ (n +1) = P_n + Q_n # (ii)

#Q_ (n + 1) = P_n + Q_n + R_n #(# = L_n #) (aku aku aku)

#R_ (n +1) = Q_n + R_n # (iv)

Ringkasnya (ii), (iii) dan (iv) Anda bisa melihatnya untuk setiap orang #n> = 2 #:

#L_ (n + 1) = P_ (n + 1) + Q_ (n + 1) + R_ (n + 1) #

# = 2 (P_n + Q_n + R_n) + Q_n #

# = warna (biru) (2L_n) + warna (merah) (L_ (n-1)) # (menggunakan (i) dan (iii))