Waktu paruh kobalt 60 adalah 5 tahun. Bagaimana Anda mendapatkan model peluruhan eksponensial untuk kobalt 60 dalam bentuk Q (t) = Q0e ^ kt?

Menjawab:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Penjelasan:

Kami menyiapkan persamaan diferensial. Kita tahu bahwa laju perubahan kobalt sebanding dengan jumlah kobalt yang ada. Kita juga tahu bahwa itu adalah model peluruhan, sehingga akan ada tanda negatif:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Ini adalah perbedaan yang bagus, mudah dan dapat dipisahkan:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# menyiratkan ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Naikkan setiap sisi ke eksponensial:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Sekarang kita tahu bentuk umum, kita perlu mencari tahu apa # k # aku s.

Biarkan setengah hidup dilambangkan dengan # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#there 1/2 = e ^ (- ktau) #

Ambil log natural dari kedua sisi:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Untuk kerapian, tulis ulang #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) thn ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #