Bagaimana saya menyelesaikan persamaan ini?

Menjawab:

# "Lihat penjelasan" #

Penjelasan:

# "Pertama, terapkan teorema akar rasional untuk menemukan akar rasional."

# "Kami menemukan" x = 1 "sebagai root rasional." #

# "Jadi" (x-1) "adalah faktor. Kami membagi faktor itu:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Kami memiliki persamaan kubik yang tersisa yang tidak memiliki akar rasional." #

# "Kita bisa menyelesaikannya dengan mengganti metode Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Pengganti" x = y + 2/9 ". Lalu kita dapatkan" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Pengganti" y = (sqrt (22) / 9) z ". Lalu kita dapatkan" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Pengganti" z = t + 1 / t ". Lalu kita dapatkan" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Mengganti" u = t ^ 3 ", menghasilkan persamaan kuadrat:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Akar dari persamaan kuadratik ini adalah u = 5.73717252." #

# "Mengganti variabel kembali, menghasilkan:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Akar lain kompleks:" #

# -0.38982242 sore 0.55586071 i. #

# "(Mereka dapat ditemukan dengan membagi" "(x-1.44631151)) #

Menjawab:

Nol nyata yang rasional adalah # x = 1 #.

Lalu ada nol nyata yang irasional:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

dan nol kompleks yang tidak nyata terkait.

Penjelasan:

Diberikan:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Perhatikan bahwa jumlah koefisien adalah #0#.

Itu adalah: #3-5+2 = 0#

Maka kita dapat menyimpulkan itu # x = 1 # adalah nol dan # (x-1) # sebuah faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (white) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Kubik yang tersisa agak lebih rumit …

Diberikan:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformasi Tschirnhaus

Untuk membuat tugas memecahkan cubic simpler, kami membuat cubic simpler menggunakan substitusi linier yang dikenal sebagai transformasi Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

dimana # t = (9x-2) #

Metode Cardano

Kami ingin menyelesaikan:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Membiarkan # t = u + v #.

Kemudian:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Tambahkan kendala # v = 22 / u # untuk menghilangkan # (u + v) # istilah dan dapatkan:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Lipatgandakan dengan # u ^ 3 # dan mengatur ulang sedikit untuk mendapatkan:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Gunakan rumus kuadratik untuk menemukan:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Karena ini Nyata dan derivasi simetris dalam # u # dan # v #, kita dapat menggunakan salah satu dari akar ini untuk # u ^ 3 # dan yang lainnya untuk # v ^ 3 # untuk menemukan root nyata:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

dan akar Kompleks terkait:

# t_2 = omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

dimana # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # adalah akar kubus Kompleks primitif dari #1#.

Sekarang # x = 1/9 (2 + t) #. Jadi akar kubik asli kami adalah:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root omega (3) (305-27sqrt (113))) #