Apa akar kuadrat dari 90?

Menjawab:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Penjelasan:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # adalah bilangan irasional di antara keduanya #sqrt (81) = 9 # dan #sqrt (100) = 10 #.

Bahkan sejak itu #90 = 9 * 10# berbentuk #n (n + 1) # itu memiliki ekspansi fraksi lanjutan terus menerus dari bentuk # n; bilah (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…)))))) #

Salah satu cara menyenangkan untuk menemukan pendekatan rasional adalah menggunakan urutan bilangan bulat yang didefinisikan oleh perulangan linier.

Pertimbangkan persamaan kuadrat dengan nol # 19 + 2sqrt (90) # dan # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (white) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (white) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (white) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Begitu:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Gunakan ini untuk mendapatkan urutan:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Beberapa istilah pertama dari urutan ini adalah:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Rasio antara istilah yang berurutan akan cenderung # 19 + 2sqrt (90) #

Karenanya:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #