Menjawab:
Titik sadel pada titik asal.
Penjelasan:
Kita punya:
# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #
Jadi kami menurunkan turunan parsial. Ingat ketika sebagian membedakan bahwa kita membedakan wrt variabel yang dimaksud sambil memperlakukan variabel lain sebagai konstan. Dan sebagainya:
# (sebagian f) / (sebagian x) = 2xy-y ^ 2 # dan# (sebagian f) / (sebagian y) = x ^ 2-2yx #
Pada poin ekstrem atau pelana yang kita miliki:
# (sebagian f) / (sebagian x) = 0 # dan# (sebagian f) / (sebagian y) = 0 # serentak:
mis. solusi simultan dari:
# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #
# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #
Karenanya hanya ada satu titik kritis di titik asal
# Delta = (parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2) (parsial ^ 2 f) / (parsial y ^ 2) - {(parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)} ^ 2 <0 => # titik pelana
Jadi kami menghitung turunan parsial kedua:
# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 2y # ;# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = -2x # dan# (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y) = 2x-2y #
Dan kapan
# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #
Yang berarti bahwa uji pelana standar bersifat inklusif dan diperlukan analisis lebih lanjut. (Ini biasanya melibatkan melihat tanda-tanda fungsi di berbagai irisan, atau melihat tes turunan parsial ketiga yang berada di luar cakupan pertanyaan ini!).
Kita juga dapat melihat plot 3D dan menarik kesimpulan cepat bahwa titik kritis muncul sesuai dengan titik sadel:
Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?
Kami memiliki: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Langkah 1 - Temukan Derivatif Parsial Kami menghitung turunan parsial dari fungsi dua atau lebih variabel dengan membedakan wrt satu variabel, sedangkan variabel lainnya diperlakukan sebagai konstan. Jadi: Derivatif Pertama adalah: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2
Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domain definisi: f (x) = 2x ^ 2lnx adalah interval x dalam (0, + oo). Mengevaluasi turunan pertama dan kedua dari fungsi: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Poin kritis adalah solusi dari: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 dan sebagai x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Pada titik ini: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 sehingga titik kritis adalah minimum lokal. Poin pelana adalah solusi dari: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 dan karena f '' (x) adalah peningkatan monoton kita dapat
Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Fungsi ini tidak memiliki titik stasioner (apakah Anda yakin bahwa f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x adalah salah satu yang ingin Anda pelajari ?!). Menurut definisi titik sadel yang paling tersebar (titik-titik diam yang tidak ekstrem), Anda sedang mencari titik-titik diam fungsi dalam domainnya D = (x, y) dalam RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) dalam RR ^ 2}. Kita sekarang dapat menulis ulang ekspresi yang diberikan untuk f dengan cara berikut: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Cara untuk mengidentifikasi mereka adalah dengan mencari titik-titik yang membatalkan gradien dari f, yang merupakan vektor turunan