Apa teorema batas pusat?

Menjawab:

Teorema batas pusat membuat gagasan intuisi yang ketat bahwa perkiraan rata-rata (diperkirakan dari beberapa sampel) dari beberapa pengukuran yang terkait dengan beberapa populasi meningkat ketika ukuran sampel meningkat.

Penjelasan:

Bayangkan hutan yang berisi 100 pohon.

Sekarang bayangkan bahwa (agak tidak realistis) bahwa, diukur dalam meter, seperempat dari mereka memiliki ketinggian 2, seperempat dari mereka memiliki ketinggian 3, seperempat dari mereka memiliki tinggi 4, dan seperempat dari mereka memiliki ketinggian tinggi 5.

Bayangkan mengukur ketinggian setiap pohon di hutan, dan menggunakan informasi untuk membuat histogram dengan ukuran nampan yang dipilih (misalnya 1,5 hingga 2,5, 2,5 hingga 3,5, 3,5 hingga 4,5, dan 5,5 hingga 6,5; saya menyadari bahwa saya belum menentukan tempat sampah yang menjadi batasan tetapi tidak masalah di sini).

Anda dapat menggunakan histogram untuk memperkirakan distribusi probabilitas pohon. Jelas, itu tidak akan menjadi yang normal.Bahkan, dengan memberikan titik akhir dipilih dengan tepat, itu akan menjadi seragam karena akan ada jumlah pohon yang sama sesuai dengan salah satu ketinggian yang ditentukan di setiap tempat sampah.

Sekarang bayangkan pergi ke hutan dan mengukur ketinggian hanya dua pohon; menghitung tinggi rata-rata dari kedua pohon ini dan mencatatnya. Ulangi operasi itu beberapa kali, sehingga Anda akan memiliki koleksi nilai rata-rata untuk sampel ukuran 2. Jika Anda merencanakan histogram dari perkiraan rata-rata, itu tidak akan lagi seragam. Sebaliknya, dalam kemungkinan akan ada lebih banyak pengukuran (perkiraan rata-rata berdasarkan sampel ukuran 2) di dekat tinggi rata-rata keseluruhan semua pohon di hutan (dalam kasus khusus ini,

#(2 + 3 + 4 + 5)/4 = 3.5# meter).

Karena akan ada lebih banyak estimasi rata-rata dekat populasi sebenarnya berarti (yang dikenal dalam contoh tidak realistis ini), daripada jauh dari rata-rata, bentuk histogram baru ini akan lebih dekat ke distribusi normal (dengan puncak di dekat rata-rata).

Sekarang bayangkan pergi ke hutan dan mengulangi latihan kecuali Anda mengukur ketinggian 3 pohon, menghitung rata-rata dalam setiap kasus, dan membuat catatan. Histogram yang akan Anda buat akan memiliki lebih banyak perkiraan dari mean di dekat mean yang sebenarnya, dengan penyebaran yang lebih sedikit (kemungkinan memetik tiga pohon dalam satu sampel sehingga mereka semua berasal dari salah satu kelompok akhir --- baik tinggi atau sangat pendek --- kurang dari memetik tiga pohon dengan pilihan ketinggian). Bentuk histogram Anda yang terdiri dari perkiraan ukuran rata-rata (masing-masing rata-rata berdasarkan tiga pengukuran) akan lebih dekat dengan distribusi normal dan standar deviasi yang sesuai (dari perkiraan rata-rata, bukan dari populasi induk) akan menjadi lebih kecil.

Ulangi ini untuk 4, 5, 6, dll, pohon per rata-rata, dan histogram yang akan Anda buat akan terlihat lebih dan lebih seperti distribusi normal (dengan ukuran sampel yang semakin besar), dengan rata-rata distribusi itu estimasi rata-rata menjadi lebih dekat dengan rata-rata sebenarnya, dan standar deviasi dari estimasi rata-rata menjadi lebih sempit dan lebih sempit.

Jika Anda mengulangi latihan untuk kasus (merosot) di mana semua pohon diukur (pada beberapa kesempatan, catat rata-rata dalam setiap kasus), maka histogram akan memiliki perkiraan rata-rata hanya di salah satu tempat sampah. (yang sesuai dengan rata-rata sebenarnya), tanpa variasi apa pun sehingga standar deviasi (distribusi probabilitas diperkirakan dari) bahwa "histogram" akan menjadi nol.

Jadi, teorema limit pusat mencatat bahwa rata-rata dari beberapa estimasi rata-rata dari beberapa populasi secara asimptotik mendekati rata-rata yang sebenarnya, dan standar deviasi dari estimasi rata-rata (daripada standar deviasi distribusi populasi induk) menjadi semakin kecil untuk ukuran sampel yang lebih besar.